Csak egyszerűen

Kutya etetés
Három kutya büszke gazdája vagyok és a hétvégén rám esett a kutyakaja elkészítésének a feladata. Ha a falkavezér készíti a betevőt az külön emeltséget ad az ilyenkor amúgy is elengedhetetlen szertartásnak. Örömmel csinálom, ugyanis semmi mást nem teszek csak törlesztem azt amit tőlük kapok… Ennek a blognak egyik célja, hogy a lehető legegyszerűbb formában ismertessen meg a tőzsdei kereskedésben nélkülözhetetlen néhány alapfogalmat. Négy lábú barátaink fognak most ebben segíteni. Amúgy  a kutya kaja annyira jól sikerült, hogy én is jóízűt ettem belőle.

Feltételezem, hogy a többség kicsit megrökönyödve olvasta, hogy én is ettem a kutyakajából. Turós tésztát készítettem és nem egy tányérból ettünk, a kijelentéssel csak bevittem egy több szigmás gondolatot. Más szóval olyan gondolatot ami jócskán eltér attól amire számítunk. Amúgy ez az alapja a viccnek. De mi az a szigma? Először is képzeljük el, hogy egy kávézóban találkozunk két tőzsdéző barátunkkal. Amikor az egyik az asztalhoz ül felfokozott izgalommal meséli, hogy valamelyik részvény árfolyama 5%-t esett. Majd jön a másik barát aki unottan meséli, hogy az  általa figyelt másik részvény is 5%-t esett. Az egyik 5% dráma a másik 5% meg nem? Csak arról lehet szó, hogy az egyiknél az 5% a megszokott kilengésnél többnek számít (ezért az izgalom), míg a másiknál az 5% egy megszokott esemény.  A standard deviáció (aminek a számítása nem bonyolult) abban és még sok minden másban segít, hogy az almákat a körtékkel is össze tudjuk hasonlítani. Most almák, körték, árfolyamváltozások helyett vegyünk 5 kutyát melyek magassága 600 mm, 470 mm, 170 mm, 430 mm és 300 mm (marmagasság)

Dog1Először kiszámoljuk, hogy mekkora a kutyusok magasságának az átlaga:

keplet1Dog2(A vízszintes zöld vonal az átlag: 394 mm)

Utána kiszámoljuk a minden egyes kutyus magasságának és az átlagnak a különbségét (lásd a képen).

Dog3

Majd ezeknek a különbségeknek az átlagát szeretnénk megtudni. Ahhoz, hogy megszabaduljunk a negatív számoktól, négyzetre emeljük az összes értéket és ezeknek számoljuk ki az átlagát.

keplet2

Majd vesszük ennek a számnak a négyzetgyökét és megkapjuk, hogy mekkora 1 standard deviáció amit  σ – val szoktak jelölni:

keplet3

Most nézzük meg, hogy az átlaghoz képest melyik kutyák lesznek mondjuk 1 szigmán kívül (felette vagy alatta).

Dog4

Látható, hogy a Rottweiler az átlagtól több mint 1 σ-val magasabb, a tacskó meg több mint 1σ-val alacsonyabb. A Rottweiler a maga 600 mm-vel 1.4 σ-val tér el az átlagtól /(Rottweiler magassága-Átlag)/1σ=1.4/. A tacskó meg 1.52 σ-val. Vegyünk most  macskákat a példához, ahol az egyik a maga 30 cm magasságával szintén 1.4 σ-val nagyobb mint a macskák átlaga és rögtön tudni fogjuk, hogy ez cica a saját kategóriájának a Rottweilere. A kutyákat és a cicákat helyettesítsük be mondjuk részvényekkel, a millimétereket meg százalékokkal és máris helyben vagyunk.

Képzeljük, hogy nem csak öt kutyáról van szó hanem százról. Mindegyiket megmérjük majd az adatokat bevisszük egy grafikonba, úgy hogy a függőleges tengellyel jelöljük az egyedek számát a vízszintesen pedig a magasságukat. Tételezzük fel, hogy egy olyan grafikont kapunk ahol az alacsonyabb és nagyobb kutyák száma egyre kevesebb lesz, ahogy távolodunk az átlagtól. A csökkenés olyan mértékű lesz, hogy egy harang forma rajzolódik ki:

Stdv

Most rajzoljuk meg úgy a grafikont, hogy a kutyák magassága helyett  vízszintes tengelyen az átlagtól való szigma eltérésüket jelöljük. A Rottweiler jobbra az 1 és 2 szigma közé fog esni.

Harangorbe

Ha egy olyan görbét kapunk ahol az egyedek száma az összeshez képest úgy helyezkedik el a görbe alatt ahogy a képen is látható (Pl: az kutyák 68.2% – a belesik az átlagtól egy szigmával alacsonyabb és egy szigmával magasabb sávba) akkor megérkeztünk a valószínűség számítás non plus ultrájához a normális eloszláshoz vagy közismertebben a haranggörbéhez. A könnyebb megértés kedvéért ezzel a példával egy kicsit cipőkanállal erőszakoltam be a normális eloszlást a példába, de nem volt jobb ötletem. A görbének van egy konkrét képlete (és kismillió bizonyítása) amihez több mint száz év alatt jutottak el (lásd alul: Út a haranggörbéhez).

Miért jó ez? Azért mert van egy képletünk ami konkrét valószínűségeket határoz meg. Például ha azt feltételezzük (ezt a gyakorlatban inkább ne tegyük – lásd alul “Fekete leves”), hogy az árfolyamok napi változásai normális éloszlásúak akkor kb. 68.2 % az esélye annak, hogy -1σ és +1σ közé esik a következő napi változás.. A normális eloszlás olyan gyakori a környezetünkben, hogy az ember akkor kapja fel a fejét ha nem ebbe ütközik bele. Ha pénzérmét dobálunk fel akkor a fej vagy írás sorozatai is normális eloszlást mutatnak (annál pontosabban minél többször dobunk), ez nem megfigyelés, hanem matematikailag van bizonyítva. Sok befektetési stratégia alkalmazza a normális eloszlást.  Ma már egyre kevésbé, de régebben ezt az eloszlást helyettesítették be a kockázatkezelési modellekbe (lásd “Kockázat” cikk: a kockázat  valószínűsítés része). Ha megnézzük a fenti haranggörbét akkor a nagyobbnak számító változások pl. 3σ valószínűsége már nagyon kicsi. Ha jellemezni szeretnénk a normális eloszlást akkor azt mondhatnánk, hogy a “béke világa”. A nyugalom szigete, az átlagos események csendes kis akváriuma, ahol mindenki boldog. Itt nem nagyon történnek nem várt események. A normális eloszlású világban picurka a valószínűsége, annak, hogy az ajtó előtt megjelenjen egy zsiráf vagy, hogy megtörténjen a világ legnagyobbak közé tartozó atomreaktorának a katasztrófája (Fukushima). 

A fekete leves

Ha a tőzsdei árfolyamok napi változásai normális eloszlásúak lennének akkor az 1987 Október 19. -i esésnek (- 25.6 %) csak: 186,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 évente lenne szabad ismétlődnie. Jelenlegi ismereteink szerint az univerzum 14,000,000,000 éves. A probléma, ott van hogy az ennél kisebb eséseknek is sokkal ritkábban szabadna megtörténnie a normális eloszlás szerint, mint amilyen gyakran a valóságban ez megtörténik (Dow Jones Index (1988-2008):

Dow sigmas

A 2008 Októberi 15.-i esésnek 37,326 évente. (Forrás: Bubble Value at Risk – Max C.Y. Wong). Ránézve a táblázatra, egy részvénypiaci egynapos gap-ekkel tarkított hirtelen 50%-os zuhanás lehetősége még akár a mi életünkben is (ezt azt jelenti, hogy akár holnap) simán benne van a pakliban. Ezért sokkal veszélyesebb a CPPI stratégia alkalmazása mint ahogyan azt sokan gondolják (lásd: “Tőkegarantált befektetések” cikk).

Ha azt mondja valaki, hogy 5 vagy ne adj Isten 6 szigma esemény történt akkor azonnal tudhatjuk, hogy itt valami olyasmiről van szó ami nagyon nagy jelentőséggel bír. A normális eloszlás pedig olyan mint a Nagy Ő ha valószínűségekkel foglalkozunk… Még akkor is ha tudjuk, hogy az árfolyamokra és még sok minden másra nem igazán ráilleszthető.

A zseni és az idióta a normális eloszlás szerint nem is nagyon létezne…

Út a haranggörbéhez – történelmi visszatekintő

Bell curve history

A kutyás illusztráció és levezetés a szerző Rod Pierce engedélyével http://www.mathsisfun.com

Kategória: Tőzsde ABC | Közvetlen link a könyvjelzőhöz.