Káosz és Tőzsde

FraktalTudom, hogy a tőzsdés blogokat olvasók nem az elméleti sasszézásra hanem a konzisztens pénzkeresés lehetőségeire kíváncsiak. Ez nem új mert mindenki erre kíváncsi. A közelébe sem lehet kerülni az ilyen lehetőségeknek, ha az alapok nincsenek tisztázva. Nélkülük a realitásoktól elrugaszkodott tévképzetek, fórum tippek, reklámok, legendák, csalogató múltbéli nyereségek szerencsétlen áldozatává válik, a mondjuk ki: a nem kis étvággyal rendelkező tőzsdéző.  (klikk a képre – optikai csalódás)

Sokan és sokáig úgy vélték, hogy azért nem lehet megjósolni a tőzsdét mert az árfolyamok úgy viselkednek mint a pénzfeldobás. 50-50 % eséllyel fej vagy írás (lásd: Kaszinó cikk). Már csak az árfolyam visszacsatolás miatt is nehéz lenne elfogadni azt, hogy a változás teljesen független az előtte lévő változástól. Kivéve akkor, ha minden árváltozás után  az összes piaci résztvevőt levakuznánk a Man in Black filmben használt memória törlővel. Az események közti függetlenség az egyik feltétele a random walk-nak. Akkor mi az oka az előrejelezhetetlenségnek? Az alábbi filmen láthatunk egy dupla ingát:

Egy végtelenül egyszerű* eszközről van szó és a mozgása mégis kiszámíthatatlan. Ahogy a Tanár Úr (nem menő tőzsdeoktató,  hanem Californiai Egyetem  fizika kar) is elmondja a kis filmben: “Nem lehet megmondani mi lesz.. Előrejelezhetetlen mint az időjárás”. Csak egy aprócska kis változtatás a kiinduló állapoton és a kimeneten valami extrém változás jelenik meg. Ez a nemlineáris dinamikus rendszerekre nagyon jellemző. Valamilyen változás lineáris ha mondjuk változó értéket adunk konstans értékhez vagy változót szorzunk konstans értékkel. Ellenben ha változókat kezdünk szorozni változókkal vagy magasabb mint 1 hatványra kezdjük emelni őket, már nemlineáris egyenletekről beszélünk.

Nem egymástól független pénzérme feldobásokról, hanem egymásra ható alkotók komplex rendszeréről van szó. Miként néz ki ez az előrejelezhetetlenség az életben? Az alábbi film elején próbáld meg kitalálni, hogy mi lesz a kis történet vége.

A kérés, hogy találjuk ki végét, egy képtelenség volt, mert nem olyan kimenetelről beszélünk ahol tudjuk, hogy mit nem tudunk hanem olyanról amiről nem tudjuk, hogy mit nem tudunk (de ez egy másik cikk témája lesz). Nem csak az időjárás, a természet, hanem a körülöttünk lévő világ is egy összefüggő komplex dinamikus rendszer. Bedobod a pályaudvari automatába a pénzt és nem esik ki a zsömle. Véletlen? Nem az:

egy csavar kilazult > kilazult mert a szerelő nem húzta meg > nem húzta meg mert sietnie kellett > sietnie kellett mert megbetegedett a mamája > a mamája megbetegedett mert az arcába köhögtek a metrón > aki az arcába köhögött az azért volt ott mert stb. és így tovább és így tovább. Te pedig lekéstél egy randit mert szétverted az automatát és emiatt nem találkoztál életed nagy szerelmével aki esetleg teljesen megváltoztatta volna az életedet ami megváltoztatta volna sok más emberét…
Csak, hogy ne a determinizmus vádja érjen minket a zsömle azért is bent maradhat mert a bedobott pénzérme egy mikrométerrel arrébb csúszott és beragadt. Apró kis kiszámíthatatlan hatványozott error-ok világa:)

Szeretjük azt hinni, hogy mi kontrolláljuk azt, hogy mi lesz velünk a jövőben. Tervezünk és előrejelzünk. Vannak dolgok melyekre van közvetlen szándékos ráhatásunk, de egy komplex dinamikus rendszerben közlekedünk ahol inkább sok minden más ismeretlen folyamat van, vagy lesz ránk hatással. A “hol látod majd magad 5 év múlva” (állás interjúk dinka kérdése) terv útvonalához való konok ragaszkodás, helyett a rugalmas  alkalmazkodás sokkal helyesebb válaszreakció lehet. Az idegeknek is jobb a  reagálás mint egy ilyen komplex rendszerben erőltetni a célhoz vezető egy bizonyos útvonalat.  Régen dühöngtem a sorban álláskor ma meg beszélgetek a többi sorban állóval…

A tőzsde nem egy elszigetelt lombikba zárt játszótér, hanem része a komplex környezetünknek. Működését tekintve  felfoghatjuk úgy mint egy átalakító berendezést aminek van(nak):

  • Bemenetei: az információk amik a döntéshozatal után vételi vagy eladási megbízások lesznek.
  • Kimenete: az árfolyamváltozás.

bemenet-kimenetElméletileg nem, de gyakorlatilag végtelen számú bemenete van. Rengeteg résztvevő, azonos és különböző információkkal amit különbözőképpen dolgoznak fel. A visszacsatolás miatt maga az árfolyamváltozás is jelentkezik a bemeneten mint információ (lásd:Információ cikk). A különböző instrumentumok árfolyamai is hatnak egymásra, változó intenzitással (korreláció). Röviden: egy keresztbe-kasul összecsatolt rendszer, ami folyamatosan táplálva van a kívülről jövő információkkal.  Nincs képlet arra,  amivel a rendszerbe bejövő információkból ki lehetne számítani azt, hogy mi lesz az eredmény a kimeneten (fx=?) mint ahogy a csónakos filmre sincs képlet.  Tovább bonyolítja a helyzetet, hogy ha lenne is ilyen képlet akkor sem lenne meg minden pillanatban a pontos számításhoz szükséges összes információ. Az is köztudott, hogy a bemeneti változások nem arányosak a kimeneti változásokkal. Például: Megjelenik valami fontos hír és alig történik valami az árfolyammal, vagy összeomlik miközben semmi eget rengető nem történt. Az okok magyarázata később lesz mögé téve vagy a meglévő régiekből lesz kiválasztva az ami illik a változásra. Az árfolyamváltozások modellezésével kapcsolatos legértelmesebb megközelítéshez javasolt könnyebb olvasmány Benoit MandelbrotThe(Mis)behavior of Markets – . Amúgy tőle mehet minden és pl. ezt a könyvet kellene valaki türelmesnek lefordítani a sok süket, többnyire szerencsének köszönhető sikerstory helyett.

Akkor mihez kezdjünk elvégre az IGEN-ekre és nem a NEM-ekre vagyunk kíváncsiak ? 

Jó ötlet, ha nem a Laplace-i világképben gondolkodunk (ezzel nem csökkentve a tudós nagyságát), ahol felrakjuk a golyókat az asztalra, elvégezzük a precíz számításokat, majd lökünk egyet és minden golyó a számításoknak megfelelően belepottyan a lyukba. Tőzsdei változatban ez úgy néz ki, hogy “ezért vagy azért meg amazért a DAX-nak vagy valami másnak emelkednie kellene“….stb. A második filmmel a párhuzam: “ha rászáll a pillangó a visszapillantó tükörre akkor egy csónak fog becsapódni a házba“. Mind a kettő képtelenség kategória. Ez az oka annak, hogy miért kapcsolom le a rádiót, ha arról beszélnek, hogy a Forinttal ez vagy az lesz. Visszafejteni az árfolyamváltozásokat az okokra és aztán a vélt összefüggéseket a későbbiekben hasonlónak vélt eseményeknél alkalmazni elég bátor dolog. Már egy relatív egyszerű képlet által generált függvényből is többnyire lehetetlen a visszafejtés az eredeti képletre. Talán néhány lépésig le lehet következtetni az okokra, de ahogy megyünk lejjebb, egyre szerteágazóbb és összetettebb lesz az okozati lánc teletömve kisebb és kisebb hibákkal. Legtöbb amit tenni lehet az a kimeneti jel vizsgálata. De hogyan? A köztudatban az árfolyamok milyensége kimerül abban, hogy esik vagy emelkedik. Szakmaibban hangzó kijelentéseknél, megjelenik az “oldalazó”, “emelkedő trend”-ben, “csökkenő trend”-ben van stb. kifejezések. Mondjuk kíváncsi lennék, hogy mi lenne a válasza  trend-et emlegetőnek, ha megkérdeznénk tőle, hogy árulja már el, hogy mi az a trend? Szóval ott van az asztalunkon egy milliméterpapír, rajta a kurta árfolyamgörbe és hajrá. Természetesen nem akarunk belefutni abba amibe a legenda szerint egy technikai elemzővel eljátszottak. Elé tettek egy pénzérme által generált chartot amire elkezdte berajzolni a kitöréseket, háromszögeket meg még ki tudja miket és belement a technikai elemzésen alapuló jóslatokba.

Most el kell egy kicsit kalandoznunk. Lewis Fly Richardson (-matematikus, fizikus … pacifista) az árfolyamgörbék helyett az országok határvonalait vizsgálta. Azt a kérdést tette fel, hogy vajon van-e összefüggés a kirobbant háborúk és az országok közti határvonalak hossza közt. A kérdés csak az volt, hogy milyen hosszú mérőpálca legyen használva a méréskor. Nem mindegy, hogy ha egy 100 km – es pálcával mérjük, mondjuk Svájc határvonalát vagy az elég egyenes Namíbiáét. Már Richardson is rájött a lényegi összefüggésekre de a téma mélyebb kibontása és az elhíresült kérdés 1967-ben Benoit Mandelbrot matematikustól  jött: Vajon milyen hosszú Nagy Britannia partvonala ?

border

Minél rövidebb a mérőpálca annál hosszabb határvonalat kapunk. A következő kérdés:  Miként változik mondjuk Namíbia és Svájc határvonalának hossza, ha elkezdjük megmérni különböző pálcákkal?  Ha pálca méretének változásait és a kapott hosszak változásainak az arányát kiszámítjuk akkor az adott határvonal cikk-cakk-osságára vonatkozó arányszámot fogunk kapni. Így már könnyebben lehet az almát a körtével összehasonlítani és ha nem tűnt volna fel akkor közeledünk az árfolyamgörbékhez is :). Általában 3 dimenziót emlegetünk az első az egyenes (D=1), második a hosszúság és szélesség által alkotott sík (D=2), harmadik dimenzió pedig a hosszúság, szélesség, magasság által alkotott általunk tapasztalt tér (D=3). Ezeket szokták topológiai vagy Euklideszi dimenzióknak hívni, ahol a dimenzió szám 1, 2  vagy 3 (egész számok).

dimension_1

Most vegyünk egy pálcát ami olyan hosszú mint a piros vonal (ami egyenlő hosszú a négyzet oldalával meg a kocka élével is) Felezzük el a képzeletbeli pálcát (r=2) és tegyük rá a piros vonalra és így kapunk 2 részt (N=2). Ha a négyzet oldalaira helyezzük és az osztásokat összekötjük akkor 4 kis négyzetet kapunk (N=4). A kockánál meg 8 kisebb kockát (N=8).

dimension_2

A játékot lehet folytatni 3……n részre osztással. Ezt hívjuk skálázásnak. Jelen esetben lefelé skáláztunk. dimension_3Könnyű felfedezni az összefüggést, hogy :

fraktal_keplet6Megmasszírozva a képletet :

fraktal_keplet7És végezetül megkapjuk dimenzió képletét:

fraktal_keplet8

Ezt a megközelítést Felix Hausdorff matematikusnak köszönhetjük és a további ezzel kapcsolatos munkákat folytató  Abram Samoilovitc Besicovitch után Hausdorff Besicovitch dimenziónak hívjuk. Az izgalmas ezzel a megközelítéssel az, hogy dimenziónak kaphatunk nem egész számot is. (Ugye mi megszoktuk az 1, 2 meg 3 – at) Tételezzük fel, hogy nem egyenes az a vonal amire rátesszük a pálcáinkat. A képen felül az egyenes amit elosztunk három felé és alul a nem egyenes amire ráillesszük a felső egyenes 1/3 részeit. Látható, hogy alulra négy db pálcika kellet. A számítás: Hausdorff dimenzió = log4/log3 = 0.602/0.477 = 1.2618 !

Koch

Fraktálnak szokták nevezni azokat a dolgokat amiknek a Hausdorff dimenziója eltér a  topológiai dimenziójától. A Hausdorff dimenziót szokták egyszerűen fraktál dimenziónak is hívni (továbbiakban FD). A fenti levezetésből kiderül, hogy minél cikk-cakkosabb valami annál magasabb az FD-ja. A növényeket a különböző felületeket a tenger hullámzását, szívritmust és más dinamikus rendszerek lenyomatát (tőzsde, zsömle automata stb.), kimenetét lehet így vizsgálni, összehasonlítani stb. És kidolgozni alkalmazásokat!

Miért jó ez az egész a tőzsdézésben, meg úgy egyáltalán ?

Döntsd el, hogy hazamenet melyik utat választod :

  • azt aminek az FD-ja 1.2 (kicsit girbe-görbe) vagy
  • amelyiknek 1.7 ( alig találsz haza).

A tökéletes emelkedő trend 0 kockázattal egy felfelé mutató egyenes lenne aminek a  dimenziója ugyebár 1. Bárhol vétel aztán szevasz.  Ha vonalakat vizsgálunk akkor valahová 1 és 2 közé esik az FD. Mekkora ez az érték a Brown mozgásnál (random walk, casino, pénzfeldobás)? Ez fontos mert ugyebár itt csak mázlival lehet nyerni. Talán nem meglepetés, de a Brown mozgás fraktál dimenziója 1.5 , félúton az 1 és 2 között. Az alábbi képen az illusztráció, hogy miként képzeljük el a különböző dimenziójú vonalakat :

 Fraktal arfolyam A tőzsdei árfolyamok (forex is :) FD-ja nagy átlagban valahol 1.4 körül van. A számot torzítják az ugrások de most ezzel már nagyon messzire mennék. Vizsgálják ezt sokan és eleget.
Más szóval az árfolyamok, kicsit “simábbak” mint ahogy a Brown mozgás kinéz.  Valahogy úgy kell elképzelni, hogy a feldobott pénzérme mindig úgy van megcinkelve, hogy egy kicsit nagyobb az esélye, hogy a fej után ismét fej legyen, írás után meg ismét írás. Azt továbbra sem tudjuk megmondani, hogy melyik felére fog esni az érme, csak azt tudjuk, hogy jönnek elnyúló sorozatok. (nem ez a legjobb példa, de hirtelen nem jutott eszembe más). Többnyire ezt a Brown mozgástól való kis eltérést lehet kihasználni (most eltekintünk a más pl. egyéb HFT, arbitrázs stb. stratégiáktól). Szokták mondani, hogy “most ennyi van benne”, mert az FD sem konstans. Teljes mértékben azért nem lehet kihasználni az eltérést, mert a kockázatkezelés pénzbe kerül, a kereskedés egyéb költségeit már nem is említem. A jó hír, hogy annak ellenére, hogy nem lehet a jövőbe látni, lehet konzisztensen nyereséges stratégiát alkalmazni és érdemes tőzsdézni mert nem kaszinó.

 amiért is: Jellemző, ahogy rövidebb időtávon vizsgáljuk az árfolyamokat, skálázunk lefelé (megyünk a hetestől, napos, órás, perces chartokra), úgy kezd növekedni az FD. (vannak benne hullámok ..)  A lényeg, hogy kezd közeledni az 1.5 – hez. Ezt például, ott tapasztalja a “trÉder”, hogy míg a napos chartokon működött a “sziszi”-je addig a rövidebb távon nem, még ha költségek nélkül is teszteli a rendszerét. A Brown mozgást bárhova skálázzuk mindig 1,5 az FD-ja mindig ugyanúgy néz ki (klikk a képre a belinkelt oldalon). Érdekes szakmai munkát olvastam, hogy az algoritmikus kereskedés miatt úgy tűnik, hogy rövid távon is csökkenni kezdett az FD.  Logikus is, gyakran egyszerre vagy egymást indítva lökik az algoritmikus rendszerek az árakat. Rendszerek alatt most elsősorban ne az MT4-ekre tessenek gondolni…. A befektető ismerve ezeket az alap összefüggéseket, például könnyben határozhatja meg, hogy egy adott instrumentumon milyen stratégiával érdemes vagy nem érdemes próbálkozni. Az sem mellékes tudni, hogy mielőtt alkalmaz egy mozgóátlagot (vagy valami más hasonlót), hogy statisztikai szempontból egy villám vagy egy brokkoliszelet közelebb áll az árfolyamhoz mint annak saját mozgóátlaga. Ebből következően egy mozgóátlagot, vagy valami más indikátort nem arra használ amire nem lehet (pl. lyukas vödröt vízhordásra).  Könnyben eligazodik a különböző stratégiák kiválasztáskor, könnyebben tesz különbséget egy vakszerencse nyereség és egy a statisztikai előnyszerzésből származó nyereség között. stb. stb. Meg egyáltalán… nem úgy közlekedik ezen a területen és máshol mint az elefánt a porcelánboltban.

Csak a felszínt vakargattuk és már így is túl hosszúra sikeredett a cikk. Habár említettem, hogy sokkal mélyebb a nyúlüreg mint az sokan gondolják. Ígérem a következők írások rövidebbek lesznek. Addig is kellemes akármit ..

Kategória: Tőzsde ABC | Közvetlen link a könyvjelzőhöz.