Nílus és a tőzsde

BastetEgyiptom gazdasági életét évezredeken át a Nílus éves   áradása határozta meg. Ami Etiópiából a Felső-Nílus-  medence (Kék Nílus) és a Kelet-Afrikai-magasföld (Fehér Nílus) vízgyűjtő területeiről indul el. Az áradás Szudánban kezdődik és minden év áprilisában és júliusában ér Asszuánhoz. Szeptember közepén éri el a tetőpontját majd a vízszint hirtelen csökkenni kezd novemberben és decemberben. Március és május a vízszint minimum időszaka. Innen van a három évszak: Akhet, Peret, She mu.

Áradáskor a Nílus ásványokban és szerves anyagokban gazdag üledéket rakott le a termőföldekre. Egy bizonyos szintig az áradásnak gazdag termés volt az eredménye (ha sok volt a víz az volt a baj ha meg kevés akkor meg az). A gabonát magtárakban helyezték el amit macskák védtek a rágcsálók ellen. Feltehető, hogy ide vezethető vissza a macska istenség kultusza (Bászt). A vízszint magassága életbevágóan fontos volt és évszázadokra visszanyúló pontos feljegyzések mellett  ősi egyiptomi vésetek is megtalálhatóak. NílusA Nilométerek használatával határozták meg az adók mértékét. Jó áradás = gazdag termés = fizess többet “kisöreg”. Az ember törekvése, hogy kevésbé legyen kitéve a természet szeszélyének a Nílus esetében sem maradt el és már a 11.-k században tettek kísérletet a szabályozására (csökkenteni a volatilitást). A gátépítés kijelölt tervezője Abu Ali Hasan Ibn Al-Haiham (nyugati világban a neve röviden: Alhazen – élt: Kr.e 965-Kr.u 1040) szerint reménytelen lett volna a kísérlet és ezért egy “rövidke” 10 év házi őrizetbe került ahol aztán megírta a “Book of Optics” tanulmányát aminek köszönhetően őt nevezik a modern optika apjának.  Több mint 800 évet ugorva 1882-ben a Britek elfoglalták Egyiptomot (csak 1922 -ben lett ismét független) és 1898-ban elkezdték megépíteni az első Asszuáni gátat, ezt hívják az “alsó gátnak”. 1902-ben fejezték be de nem sokkal ezután kétszer is meg kellett magasítani 1907-1912 és 1929-1933. Kicsire sikeredett és ez is vezetett aztán a nagy Asszuáni-gát, a “nagy gát” vagy “felső gát” megépítéséhez (1960-1970), ami mögött van a felduzzasztott Nasszer tó. Csak érdekesség a tó megdöbbentő méretéről, hogy hossza 550 kilométer és a legnagyobb szélessége 35 kilométer.

Edwin Harald Hurst brit hivatalnok 1906-ban 26 évesen érkezett Kairóba egy rövid tartózkodásra amiből aztán egy 62-éves kiruccanás lett. Nem túl komoly munkával kezdte. A pontos időt küldte az obszervatóriumból a Kairói Citadellába ahonnan minden délben elsütöttek egy ágyút (harangszó angol módra). Egyiptomi tartózkodás alatt beleszeretett a Nílusba amit gyalog, kerékpárral és később autóval és repülővel is többször bejárt. A tipikus “megláttam és beleszerettem” történetről van szó ami aztán egy nem kis jelentőségű számítási módszerhez vezetett.

Látta, hogy az alsó gát nem tölti be a kívánt szerepét és szükség van egy víztárolóval kombinált nagyobb gátra. Na de mekkora legyen az a gát  meg a tároló kapacitása? Van egy vödör alul egy apró lyukkal (ez a dinamikus rendszer kimenete). A bemenete  pedig felül van ahová rendszeresen de különböző mennyiségben érkezik a csapadék. Mekkora legyen a vödör? Ha valaki már akart az eresz alá építeni egy kis műanyag tárolót, hogy felfogja az esővizet akkor biztos szembesült  a “mekkora tartályt kellene venni problémával ?”. Amúgy többször is megfigyeltem, hogy az embereknek gondot okoz a méretezés és az ereszek alatt mindenféle variáció megtalálható:) Egyszerűnek tűnhet a dolog mert vehetnénk a csapadékmennyiségek átlagát, azok standard deviációját és a normális eloszlás képletével kiszámolhatnánk, hogy kb. mekkora legyen a vödör vagy tároló mérete a kívánt vízfelhasználás mellett, úgy hogy az jó eséllyel ne csorduljon túl és ne is legyen csont száraz amikor locsolni szeretnénk. A normális eloszlás szerint a bejövő vízmennyiségek egymástól függetlenek. Vajon mennyire igaz ez mondjuk a Nílusra?  Arról van szó, hogy ha a nagy áradást sorozatban nagy áradások követnek akkor nagyobb gátra és tárolóra van szükség (nagyobb vödör kell), mint ahogy több víz megtartására van szükség, ha a száraz időszakokat szárazak követnek. Na ennek a problémának járt utána Edwin Harald Hurst és jutott el ahhoz a számítási módszerhez amit az árfolyamok és más dinamikus rendszerek viselkedésének vizsgálatakor használnak. Hurst a Nílus vízállásának 800 évre visszamenő adatait dolgozta fel ami akkoriban számítógépek nélkül bizony nem kis feladat volt. Arra jutott, hogy a nagy áradásokat  nagyobb valószínűséggel követnek nagy áradások és kisebbeket pedig nagyobb valószínűséggel követnek kisebbek. Vagyis nagyobb gát és tárolóra van szükség mint ahogy  azt a normál eloszlás adná. Naná, hogy a tőzsdézőket nem kell kétszer megkérni, hogy Hurst módszerével az árfolyamok változásait is megvizsgálják. Mi se térjünk el a blog jellegétől és nézzük meg a Hurst exponens számítását mondjuk a DAX Indexre:

A Yahoo-ról letöltöttem a DAX napi záró árakat. 5709 adat 1990 november 26-tól 2013 június közepéig (minél több annál jobb). Először osszuk fel különböző vizsgálati időszakokra az adatsort.

Dax_Hurst_1

 Az egyszerű felezést választottam, de lehetne másként is… Hat időszak csoportot csináltam: az egészet ; a feleteket ; a negyedeket … stb. Kezdjük a számítást az egésszel (5709) nap.

1. Lépés:

Kiszámítjuk a napi százalékos változásokat (most, hagyjuk hogy miért, de tick meg 1 perces  adatokon már nem ezt választanánk). Lényeg, hogy megkapjuk a napi hozamokat. Jelöljük h -val és kapunk 5709 db h – t :  h(1) ; h(2); h(2) ……………… h(5709).

2. Lépés:

Számoljuk ki a napi hozamok átlagát: M= [ h(1) + h(2) …. + h(5709) ]  /  5709

3. Lépés:

Számoljuk ki, hogy minden egyes napi hozam menyivel tér el az átlagtól és jelöljük ezt az értéket x – el:   x(1) = h(1) – M ; x(2) = h(2) – M ; ……….. x(5709) = h(5709) – M ;

A grafikonon kék vonal az x értékek:

DAX_Hurst_2

 4. Lépés:

Kezdjük összeadni az x értékeket és az összegeket jelöljük Y – al.

Y(1) = x(1) ; Y(2) = x(1) + x(2) ;  ….  Y(5709) = x(1) + x(2) + … + x(5709) . A fenti grafikonon piros vonal az Y értékek.

5. Lépés:

Az Y értékeknek lesz egy maximum és egy minimum értéke és ebből számítjuk ki a sávot és jelöljük R – el :

R(5709) = MAX [Y] – MIN [Y]

6. Lépés:

Számoljuk ki a napi hozamok (h) standard deviációját és jelöljük s – el:

s (5709) = STDEV [h(5709)]

7. Lépés:

Az úgynevezett resacaled range – t pedig úgy kapjuk meg, hogy az R – t elosztjuk a standard deviációval: R/s  (ami jelen esetben az 5709 napra vonatkozik)

8. Lépés:

Jelöljük be egy grafikonon a log(n) – t ami most log(5709) és rendeljük hozzá a log(R/s) – t ami most az 5709 napra vonatkozó érték és a grafikonon kapunk egy pontot (lásd alul kék nyíllal jelölve).

Dax_Hurst_3

A fenti nyolc lépést most csináljuk meg az 5709 nap első felére majd a második felére is és vegyük az első fél és a második fél log(R/s) átlagát, majd vegyük a log(n)-ek átlagát ha napok száma eltérő pl: [log(2854) + log(2855)] / 2 . Ezután ismét rajzoljuk be a pontot a grafikonon. Ismételjük meg az egész folyamatot a negyed időszakokkal, majd a nyolcadokkal stb.

A pontokra ráillesztünk egy egyenest és az egyenes meredeksége az ún. Hurst exponens. Jele a H.

Most jön az izgalmas rész. A H értéke 0 és 1 között lehet. Amennyiben

  • H = 0.5 akkor a változások között nincs függőség. (Random walk).
  • Ha a H nagyobb mint 0.5 akkor perzisztenciáról van szó ami leegyszerűsítve azt jelenti, hogy a változás irányának a folytatása a következő lépésnél valószínűbb.
  • Ha a H kisebb mint 0.5 akkor antiperzisztenciáról beszélünk és az ellentétes irányú változásnak nagyobb az esélye.

Hurst a Roda-i Nilometer kb. 800 év adatát vizsgálta és H – ra 0.77 – et kapott ami azt jelenti, hogy egy nagy áradás után nagyobb a valószínűsége annak, hogy ismét egy jó nagy adag vizet kapjanak. Vagyis a gátat nagyobbra  kell építeni mint azt ahogy tették volna a normális eloszlást használva ahol a H=0.5  A példaként elvégzett számításunk DAX – ra vonatkozó H értéke 0.5659. Ami azt is jelentheti, hogy ha nem is nagyon de azért fellelhető a perzisztencia.

Nagyon leegyszerűsítve és hétköznapi nyelvre fordítva, ahol a H nagyobb mint 0.5  ott többnyire valamilyen trendkövető, kitöréses stb. stratégiával javasolt próbálkozni. Az árfolyam úgymond “trendszerű”. Ahol a H kisebb mint 0.5 ott inkább kontra (reversal) stratégiában érdemes gondolkodni pl. valamilyen esés után vétel, emelkedésnél meg inkább eladás stb. Jellemző a természeti változásokra, hogy a H magasabb mint 0.5. Az árfolyamok nagy átlagára is a 0.5 – nél magasabb H a jellemző. A befektetők többsége esésnél venni szeret emelkedésnél pedig eladni ami akkor lenne jó ötlet ha a H jellemzően kisebb lenne mint 0.5. Más szóval a többség a piaci változásokra általában pont fordítva reagál mint ahogy kellene. Itt már felmerülhet az a gondolat is, hogy ha valaki többször is nyer egy olyan árfolyamgörbén aminek a H – ja a kereskedés időszakában 0.5 körül volt akkor ne nagyon örüljön, ugyanis csak a vak szerencsének köszönhette a sikert. Továbbá érdemes foglalkozni az olyan kérdésekkel mint:

  • mekkora H-ja a különböző devizapároknak?
  • mekkora a H mondjuk napos, órás, perces stb. időtávokon és melyik napszakon ?
  • miként lehet a H becslést leellenőrizni úgy, hogy egy random generátorral összekeverjük a vizsgált adatsort alkotó változókat … stb. ?
  • Mi köze a H – nak a fraktál dimenzióhoz?
  • stb.

Az is köztudott, hogy az árfolyamok Hurst exponense csak kis mértékben tér el a 0.5 – től. Ez azt jelenti, hogy eléggé korlátozott annak a nyereségnek a mérete amit ebből az eltérésből szisztematikusan ki lehet préselni. A jó hír, hogy van lehetőség olyan stratégiát készíteni ami statisztikai előnyre tud szert tenni, még ha ez nem is annyira egyszerű. A nyereség növelése érdekében jön be a képbe a tőkeáttét használata, de “ácsi” mert a tőkeáttét növelésével a kockázat is növekedni fog… Jóval túlmutat már ezen a cikken és a blogon is annak kifejtése, hogy mi van akkor ha a H=0.5 és a szórás mégsem normális eloszlású :)

Összegzés

Bármely stratégia, építésekor szinte elengedhetetlen behatóan megvizsgálni azt az árfolyamot amin a stratégia bevetésre fog kerülni. Erre hasznos és talán elengedhetetlen statisztikai eszköz a Hurst exponens becslése amit a tudomány szinte minden területén használnak. Orvostudományban pl: a szívritmus jeleinek vizsgálata. Meteorológia, architektúra … és nem utolsó sorban pénzügy. Érdemes elmélyülni a kérdésben ami további és behatóbb  betekintést ad az olyan dinamikus rendszerekbe mint amilyen a piac is. Az R/s analízisen kívül más módszerekkel is meg lehet becsülni a H – t.  Ismételten csak a felszínt piszkálgattuk és a bemutatott példa csak egy durva munka aminek célja a szemléltetés volt (jobb oldalon a BLOG BOX – ról letölthető a számításhoz készített Hurst_n.xlsx fájl).

Kötelező olvasmány:

Edgar E. Peters – Fractal Market Analysis: Applying Chaos Theory to Investment and Economics

A képen Edwin Harald Hurst akit “Abu Nil” – nek ( Nílus apja) is neveztek a folyóhoz,  fűződő szeretete miatt.

Harold Edwin Hurst

Jó móka: kérdezd meg a tőzsdeoktatódtól, brókeredtől vagy a befektetési szakértődtől, hogy azért nyert vagy vesztett-e mert a Hurst exponens 0.5 volt vagy mert 0.5 – nél több vagy kevesebb.

Kategória: Tőzsde ABC | Közvetlen link a könyvjelzőhöz.